图是一种过山车的简易模型,它由水平轨道和在竖直平面内的二个圆形轨道组成,B、C分别是二个圆形轨道的最低点,BC 间距L=12.5m,第一圆形轨道半径R1=1.4m.一个质量为m=1.0kg的小球(视为质点),从轨道的左侧A点以V0=12.0m/s的初速度沿轨道向右运动.小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2,圆形轨道是光滑的.假设水平轨道足够长,圆形轨道间不相互重叠.计算结果保留小数点后一位数字.试求
(1)如果小球恰能通过第一圆形轨道,AB间距L1应是多少;
(2)在满足(1)的条件下,如果要使小球不能脱离轨道,在第二个圆形轨道的设计中,半径R2的可变范围;
(3)小球最终停留点与起点A的距离.
(1)设小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v1=
=gR1
m/s14
根据动能定理得
-μmgL1-2mgR1=
mv12-1 2
mv021 2
解得 L1=18.5m
(2)要保证小球不脱离轨道,可分两种情况进行讨论:
I.轨道半径较小时,小球恰能通过第二个圆轨道,设在最高点的速度为v2,应满足
mg=mv 22 R2
-μmg(L1+L)-2mgR2=
mv22-1 2
mv021 2
由上两式解得:R2=0.4m
II.轨道半径较大时,小球上升的最大高度为R2,即上升到与圆心等高的位置,
根据动能定理得
-μmg(L1+L)-mgR2=0-
mv021 2
解得:R2=1.0m
为了保证圆轨道不重叠,R2最大值应满足:(R1+R2)2=L2+(R1-R2)2,
解得 R2=27.9m
综合I、II,要使小球不脱离轨道,则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件
0<R2≤0.4m 或 1.0m≤R2≤27.9m
(3)当0<R2≤0.4m 时,小球最终停留点与起始点A的距离为L′,则
-μmgL′=0-
mv02 1 2
解得 L′=36.0m
当1.0m≤R2≤27.9m 时,小球最终停留点与起始点A的距离为L〞,则
L″=L′-2(L′-L1-L)=26.0m
答:
(1)如果小球恰能通过第一圆形轨道,AB间距L1应是18.5m;
(2)在满足(1)的条件下,如果要使小球不能脱离轨道,在第二个圆形轨道的设计中,半径R2的可变范围为 0<R2≤0.4m 或 1.0m≤R2≤27.9m;
(3)小球最终停留点与起点A的距离是36m或26m.