如图，一内壁光滑的环形细圆管，固定于竖直平面内，环的半径为R

问题问答题

如图，一内壁光滑的环形细圆管，固定于竖直平面内，环的半径为R（比细管的直径大得多），在圆管中有一个直径与细管内径相同的小球（可视为质点），小球的质量为m，设某一时刻小球通过轨道的最低点时对管壁的压力为5.5mg．此后小球便作圆周运动，求：

（1）小球在最低点时具有的动能；

（2）小球经过半个圆周到达最高点时具有的动能；

（3）在最高点时球对管内壁的作用力大小及方向；

（4）若管内壁粗糙，小球从最低点经过半个圆周恰能到达最高点，则小球此过程中克服摩擦力所做的功．

答案

（1）对小球在最低点进行受力分析，由牛顿第二定律得：

F-mg=m

所以小球在最低点时具有的动能是

mgR．

（2）根据动能定理研究从最低点到最高点得：

-mg•2R=

mv′²-

mv^{2
小球经过半个圆周到达最高点时具有的动能是
1
4
mgR
（3）对小球在最高点进行受力分析，由牛顿第二定律得：
mg+F′=m
v′2
R
F′=-
1
2
mg
所以在最高点时管壁对求的弹力向上，大小为
1
2
mg
根据牛顿第三定律得：在最高点时球对管内壁的作用力大小为
1
2
mg，方向为向下．
（4）小球从最低点经过半个圆周恰能到达最高点，说明小球在最高点的速度为0．
根据动能定理研究从最低点到最高点得：
-mg•2R+W=0-
1
2
mv^{2
W=-
1
4
mgR
所以小球此过程中克服摩擦力所做的功为
1
4
mgR．
答：（1）小球在最低点时具有的动能是
9
4
mgR；
（2）小球经过半个圆周到达最高点时具有的动能是
1
4
mgR；
（3）在最高点时球对管内壁的作用力大小为
1
2
mg，方向为向下．
（4）小球此过程中克服摩擦力所做的功是
1
4
mgR．}}