（1）设小球滑至环顶时的速度为υ₁，所受环的压力为N．

小球运动过程中机械能守恒：mg(h-2R)=

1

2

m

υ

21

①

在顶点由圆周运动的知识有：mg+N=m

υ 21

R

②

联立①②解得：N=mg(

2h

R

-5)（

代入数值解得：N =2×10(

2×3.5

1

-5)N=40N

由牛顿第三定律知小球对环的压力大小为：N'=N=40N

（2）当圆环对小球的压力为零时，仅由重力充当向心力，对应的速度υ₂为越过圆环最高点的最小速度，对应的高度h₁为最低高度，由机械能守恒定律及圆周运动知识有：mg(h1-2R)=

1

2

m

υ

22

③

mg=m

υ 22

R

④

联立③④解得：h1=

5

2

R=2.5m

（3）由于h'＜h₁，故球在还没有到达顶端前即与环脱离，设脱离圆环时的位置半径与竖直方向的夹角为α，选轨道最低点为零势点，由机械能守恒定律及圆周运动知识有：mgh′=

1

2

mυ2+mgR(1+cosα)⑤

mgcosα=m

υ2

R

⑥

联立⑤⑥解得：cosα=

2(h′-R)

3R

=

2

3

答：（1）小球滑至圆环顶点时对环的压力为40N．

（2）小球至少应从2.5m高处由静止滑下才能越过圆环最高点．

（3）小球从h'=2m处由静止滑下时，脱离圆环的位置和圆心的连线与竖直方向夹角的余弦为

2

3

．