在比较aa+1和（a+1）a的大小时（a是自然数），我们从分析a=1，a=2，a

问题解答题

在比较a^a+1和（a+1）^a的大小时（a是自然数），我们从分析a=1，a=2，a=3…这些简单情况入手，从中发现规律，经过归纳，再得出结论．

（1）①1²______2¹，②2³______3²，③3⁴______4³，④4⁵______5⁴，…

（2）从第（1）题结果归纳，可猜出a^a+1和（a+1）^a的大小关系是怎样的？

（3）请比较一下2008²⁰⁰⁹与2009²⁰⁰⁸的大小．

答案

（1）①∵1²=1，2¹=2，

∴1²＜2¹；

②∵2³=8，3²=9，

∴2³＜3²；

③∵3⁴=81，4³=48，

∴3⁴＞4³；

④∵4⁵=1024，5⁴=625，

∴4⁵，＞5⁴．

故答案为：＜，＜，＞，＞；（4分）

（2）由（1）可知，

当1≤a≤2时（或a=1或2时），a^a+1＜（a+1）^a，（6分）

当a＞2时，a^a+1＞（a+1）^a；（8分）

（3）∵a=2008＞2，

∴2008²⁰⁰⁹＞2009²⁰⁰⁸．（10分）