如图所示,由两根坚硬细杆所构成的三角形框架位于竖直平面内,∠AOB=120°,被铅垂线OO′平分.两个质量均为m的小环P、Q通过水平轻弹簧的作用恰好静止在A、B两处,相对细杆无滑动趋势.A、B连线与OO′垂直,连线与O点的距离为h,弹簧原长为
h,弹簧的形变始终在弹性限度内.环与杆间的动摩擦因数μ=3
,且最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g.试求:(1)弹簧的劲度系数k;3 6
(2)现将两小环沿杆下移至A′B′处,使其在竖直方向上均下移h距离,同时释放两环.为使环在A′B′处不移动,可将整个框架绕OO′轴旋转,框架转动的角速度ω的范围是多少.
(1)环在A、B位置时,恰好处于平衡,根据共点力平衡得,
设弹簧的弹力为F,则有:Fcos30°=mgsin30°+μ(mgcos30°+Fsin30°)
解得F=
,3
mg3 5
弹簧的形变量x=2
h-3
h=3
h,3
根据胡克定律得,F=kx,
解得k=
.3mg 5h
(2)两小环沿杆下移至A′B′处,弹簧的形变量x′=4
h-3
h=33
h,3
弹簧的弹力F′=kx′=
,9
mg3 5
当最大静摩擦力沿杆向上时,根据牛顿第二定律得,水平方向上:F′+fcos30°-Nsin30°=m•2
hω123
竖直方向上有:fsin30°+Ncos30°=mg
f=μN
联立解得ω1=29g 35h
当最大静摩擦力沿杆向下时,根据牛顿第二定律得,水平方向上:F′-fcos30°-Nsin30°=m•2
hω223
竖直方向上有:fsin30°+mg=Ncos30°
f=μN,
联立解得ω2=
.3g 5h
所以角速度的范围为
≤ω≤3g 5h
.29g 35h
答:(1)弹簧的劲度系数为
;3mg 5h
(2)框架转动的角速度ω的范围是
≤ω≤3g 5h
.29g 35h