由题意，令封闭气体的压强为P，玻璃管质量为m，则有对玻璃管受力分析：

根据受力分析图可知，绳的拉力T=（P₀-P）S+mg=ρghS+mg，即绳的拉力等于管的重力和管中高出液面部分水银的重力．

所以：A、大气压强增加时，封闭气体压强不变，故液柱h增加，所以拉力T增加，A正确；

B、环境温度升高，封闭气体压强增大，根据P=P₀-ρgh可知，h减小，故拉力T减小，B错误；

C、向水银槽内注入水银，根据P=P₀-ρgh和气体状态方程可知，封闭气体压强增大，体积减小，水银面高度差h减小，故拉力减小，C错误，

D、略微增加细绳长度，使玻璃管位置相对水银槽下移，封闭气体体积减小，压强增大，再根据P=P₀-ρgh可知，水银面高度差h减小，故绳拉力减小，D错误．

故选A．