问题
问答题
已知函数
有两个零点。
（I）求a的取值范围；
（II）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2<2。
答案
参考答案：
解：
（Ⅰ）
。
（i）设a=0，则f（x）=（x-2）ex，f（x）只有一个零点。
（ii）设a>0，则当x∈（-∞，1）时，f′（x）<0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）>0。
所以f（x）在（-∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增。
又f（1）=-e，f（2）=a，取b满足b<0且
，则
，
故f（x）存在两个零点。
（iii）设a<0，由f′（x）=0得x=1或x=In（-2a）。
若
，则In（-2a）≤1，故当x∈（1，+∞）时，f′（x）>0，因此f（x）在（1，+∞）单调递增。
又当x≤1时f（x）<0，所以f（x）不存在两个零点。
若
，则In（-2a）>1，故当x∈（1，In（-2a））时，f′（x）<0；当x∈（In（-2a），+∞）时，f′（x）>0。
因此f（x）在（1，In（-2a））单调递减，在（In（-2a），+∞）单调递增。
又当x≤1时f（x）<0，所以不存在两个零点。
综上，a的取值范围为（0，+∞）。
（Ⅱ）不妨设x1<x2，由（Ⅰ）知，x1∈（-∞，1），x2∈（1，+∞），2-x2∈（-∞，1），f（x）在（-∞，1）单调递减，所以x1+x2<2等价于f（x1）>f（2-x2），即f（2-x2）<0。
由于
，而
，所以
。
设
，则
。
所以当x>1时，g′（x）<0，而g（1）=0，故当x>1时，g（x）<0。
从而g（x2）=f（2-x2）<0，故x1+x2<2。