问题
探究题
阅读下文，寻找规律：已知x≠1，观察下列各式：
（1﹣x）（1+x）=1﹣x2，（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3，（1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4…（1）填空：（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7）=1﹣x8．
（2）观察上式，并猜想：
①（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）= _________ ．
②（x﹣1）（x10+x9+…+x+1）= _________ ．
（3）根据你的猜想，计算：
①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）= _________ ．
②1+2+22+23+24+…+22007= _________ ．
答案
解：
（1）由（1﹣x）（1+x）=1﹣x2，
（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3，
（1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4
可以看出每一个等式左边的最大指数等于右边的最大指数，且左边相当于对右边的因式分解，所以得出规律：
（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）=1﹣xn+1．
即：（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7）=1﹣x8，
空白处应填：（1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7）．
（2）由（1）得出的规律可得：
①（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）=1﹣xn+1，
空白处应填：1﹣xn+1②（x﹣1）（x10+x9+…+x+1）=﹣（1﹣x11）=x11﹣1，
空白处应填：x11﹣1．
（3）由（1）得出的规律可得
①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）=1﹣26，
空白处应填1﹣26；
②由（1﹣2）（1+2+22+23+24+…+22007）=1﹣22008
得1+2+22+23+24+…+22007=22008﹣1，
空白处应填22008﹣1．
