问题
解答题
已知函数f（x）=x2+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠-2）
（I）若f（x）能表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式；
（II）命题P：函数f（x）在区间[（a+1）2，+∞）上是增函数；命题Q：函数g（x）是减函数．如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围；
（III）在（II）的条件下，比较f（2）与3-lg2的大小．
答案
（I）∵f（x）=g（x）+h（x），g（-x）=-g（x），h（-x）=h（x）
∴f（-x）=-g（x）+h（x）
∴g(x)+h(x)=x2+(a+1)x+lg|a+2| -g(x)+h(x)=x2-(a+1)x+lg|a+2|
解得g（x）=（a+1）x，h（x）=x2+lg|a+2|；
（II）∵函数f（x）=x2+（a+1）x+lg|a+2|=(x+
)2-a+1 2
+lg|a+2|在区间[（a+1）2，+∞）上是增函数，(a+1)2 4
∴(a+1)2≥-
，解得a≥-1或a≤-a+1 2
且a≠-23 2
又由函数g（x）=（a+1）x是减函数，得a+1＜0，∴a＜-1且a≠-2
∴命题P为真的条件是：a≥-1或a≤-
且a≠-2，命题Q为真的条件是：a＜-1且a≠-2．3 2
又∵命题P、Q有且仅有一个是真命题，
∴a＞-3 2
（III）由（I）得f（2）=2a+lg|a+2|+6
∵a＞-
，∴f（2）=2a+lg（a+2）+63 2
设函数v（a）=2a+lg（a+2）+6，v′（a）=2+
＞0．1 (a+2)ln10
∴函数v（a）在区间[-
，+∞)上为增函数．3 2
又∵v(-
)=3-lg2，∴当a＞-3 2
时，v（a）＞v(-3 2
)，即f（2）＞3-lg2．3 2