问题
解答题
设命题p：∃x0∈R，x02-2ax0+2-a=0，命题q：∀x∈[1，+∞），a≤log16（3x+1），如果命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
答案
当命题p为真时，则方程x2-2ax+2-a=0有实根，
即△=4a2-4（2-a）≥0⇒a≥1或a≤-2，
当q为真时，即∀x∈[1，+∞），a≤log16（3x+1）恒成立，
由于f（x）=log16（3x+1）在[1，+∞）上是增函数，
所以f（x）的最小值是log16（3×1+1）=
，1 2
又a≤log16（3x+1）恒成立⇔a≤f（x）min所以a≤
，1 2
因为命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，从而p，q中一真一假．
当p真q假时即
⇒a≥1；a≥1或a≤-2 a＞ 1 2
当p假q真时即
⇒-2＜a≤-2＜a＜1 a≤ 1 2
．1 2
综上a≥1或-2＜a≤1 2
故实数a的取值范围是a≥1或-2＜a≤
．1 2