问题
解答题
对于数列{un}若存在常数M＞0，对任意的n∈N*，恒有|un+1-un|+|un-un-1|+…+|u2-u1|≤M，则称数列{un}为B-数列。
（1）首项为1，公比为q（|q|＜1）的等比数列是否为B-数列？请说明理由；
请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题，判断所给命题的真假，并证明你的结论；
（2）设Sn是数列{xn}的前n项和，给出下列两组论断；
A组：①数列{xn}是B-数列②数列{xn}不是B-数列
B组：③数列{Sn}是B-数列④数列{Sn}不是B-数列
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论；
（3）若数列{an}，{bn}都是B-数列，证明：数列{anbn}也是B-数列。
答案
解：（1）设满足题设的等比数列为{an}，则
，
于是
，
因此
，
因为|q|＜1，
所以，
，
即
，
故首项为1，公比为q（|q|＜1）的等比数列是B-数列。
（2）命题1：若数列{xn}是B-数列，则数列{Sn}是B-数列，此命题为假命题。
事实上，设
，
易知数列{xn}是B-数列，但
，
，
由n的任意性知，数列{Sn}是B-数列此命题为假命题。
命题2：若数列{Sn}是B-数列，则数列{xn}是B-数列，此命题为真命题，
事实上，因为数列{Sn}是B-数列，
所以存在正数M，对任意的n∈N*，
有
，
即
，
于是
，
所以数列{xn}是B-数列。
（3）若数列{an}{bn}是B-数列，则存在正数
，对任意的n∈N*，
有
，
，
注意到
，
同理：
，
记，则有
，
因此
，
故数列{anbn}是B-数列。