问题
解答题
设命题p：曲线y=x3-2ax2+2ax上任一点处的切线的倾斜角都是锐角；命题q：直线y=x+a与曲线y=x2-x+2有两个公共点；若命题p和命题q中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围．
答案
若命题p为真命题，则y′=3x2-4ax+2a＞0对x∈R恒成立，…（2分）
∴△1=（4a）2-4×3×2a=8a（2a-3）＜0，得0＜a＜
；…（5分）3 2
若命题q为真命题，则方程组
有两组不同的解，即x2-2x+2-a=0有两个不等根，y=x+a y=x2-x+2
∴△2=4-4（2-a）=4（a-1）＞0，得a＞1；…（10分）
那么，命题p为真命题而命题q为假命题时，即0＜a＜
且a≤1，3 2
得，0＜a≤1；…（12分）
命题p为假命题而命题q为真命题时，即
，得，a≥a≤0或a≥ 3 2 a＞1
；3 2
∴当命题p和命题q中有且只有一个是真命题时，a∈(0，1]∪[
，+∞)．…（14分）3 2