问题
选择题
对于直角坐标平面内的任意两点A（x1，y1）、B（x2，y2），定义它们之间的一种“距离”：‖AB‖=|x1-x2|+|y1-y2|．给出下 * * 个命题：
①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；
②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；
③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖＞‖AB‖．
其中真命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
答案
①，不妨设直线AB的方程为y=kx+b（k＞0），令x2＞x0＞x1，
∵点C（x0，y0）在线段AB上，
∴‖AC‖=
|
|
同理可得，‖CB‖=（k+1）（x2-x0），‖AB‖=（k+1）（x2-x1）；
∵‖AC‖+‖CB‖=（k+1）（x0-x1）+（k+1）（x2-x0）=（k+1）（x2-x1）=‖AB‖；
故①正确；
②，∵在△ABC中，若∠C=90°，取C（1，1），A（3，2），则B在直线x+y=3上，不妨取B（0，3），
‖CA‖=|3-1|+|2-1|=2+1=3，‖CB‖=|0-1|+|3-1|=1+2=3，‖AB‖=|3-0|+|2-3|=4，
显然，‖AC‖+‖CB‖≠‖AB‖；故②错误；
③，取C（0，0），A（1，0），B（0，1），则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖=2，故③错误．
综上所述，其中真命题的个数为1．
故选B．
