问题 填空题

设y=f(x)是定义在R上的函数,给定下 * * 个条件:

(1)y=f(x)是偶函数;

(2)y=f(x)的图象关于直线x=1对称;

(3)T=2为y=f(x)的一个周期.

如果将上面(1)、(2)、(3)中的任意两个作为条件,余下一个作为结论,那么构成的三个命题中真命题的个数有______个.

答案

①先证明由(1)和(2)作为条件,可以得到(3)成立

∵y=f(x)的图象关于直线x=1对称,

∴f(1-x)=f(1+x)

又∵y=f(x)是偶函数,可得f(1-x)=f(x-1)

∴f(x-1)=f(1+x),即f(x-1)=f[(x-1)+2],函数y=f(x)是T=2的周期函数;

②再证明由(2)和(3)作为条件,可以得到(1)成立

∵y=f(x)的图象关于直线x=1对称,

∴f(1-x)=f(1+x)

又∵T=2为y=f(x)的一个周期,可得f(1+x)=f[(x+1)-2],

∴f(1-x)=f(x-1),可得f(1-x)=f[-(1-x)],

以x代替1-x,得f(x)=f(-x),故函数y=f(x)是偶函数;

③最后证明由(1)和(3)作为条件,可以得到(1)成立

∵T=2为y=f(x)的一个周期,

∴f(1+x)=f[(x+1)-2]=f(x-1),

又∵y=f(x)是偶函数,可得f(x-1)=f(1-x),

∴函数y=f(x)满足f(1-x)=f(1+x),可得y=f(x)的图象关于直线x=1对称.

综上所述,将上面(1)、(2)、(3)中的任意两个作为条件,余下一个作为结论,可以构成的三个真命题.

故答案为:3

单项选择题
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