问题
选择题
在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，设函数f（x）=k（x-2）+3的图象为直线l，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，给出下列四个命题：
①存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有一条；
②存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有两条；
③存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有三条；
④存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l仅有四条．
其中所有真命题的序号是（ ）
A．①②③
B．③④
C．②④
D．②③④
答案
∵直线y=k（x-2）+3与x轴，y轴交点的坐标分别是，A（2-
，0），B（0，3-2k）．3 k
S△=
×|2-1 2
|×|3-2k|=3 k
×1 2
．(2k-3)2 |k|
当k＞0时，S△=
×1 2
=4k2-12k+9 k
×（4k+1 2
-12），9 k
∵4k+
≥29 k
=12，当且仅当k=4×9
时取等号．3 2
∴当S△=m＞0时，在k＞0时，k有两值；
当k＜0时，S△=
×1 2
=(2k-3)2 |k|
×1 2
=4k2-12k+9 -k
×[（-4k+1 2
）+12]，9 -k
∵-4k+
≥29 -k
=12．当且仅当k=-4×9
时取等号．3 2
当m＞12时，在k＜0时，k有两值．；
∴当 m=0时，仅有一条直线使△AOB的面积为m，∴①不正确；
当0＜m＜12时，仅有两条直线使△AOB的面积为m，∴②正确；
当m=12时，仅有三条直线使△AOB的面积为m，∴③正确；
当m＞12时，仅有四条直线使△AOB的面积为m，∴④正确．
故选D
