∵函数y=c^x在R上单调递减

∴0＜c＜1

即P：0＜c＜1

∵x+|x-2c|＞1不等式的解集为R．∴函数y=x+|x-2c|在R上恒大于1．

而x+|x-2c|=

2x-2c，x≥2c 2c，x＜2c

可知x+|x-2c|的最小值为2c，则根据题意可得，2c＞1

即Q：c＞

1

2

∵p和Q有且仅有一个正确

①若P正确，Q错误，则

0＜c＜1 0＜c≤ 1 2

，则0＜c≤

1

2

②若P错误，Q正确，则

c≥1 c＞ 1 2

，则c≥1

综上可得，0＜c≤

1

2

或c≥1

故答案为：（0，

1

2

]∪[1，+∞）