下列命题中正确的是（） ①若数列{an}是等差数列，且am+an=as+at（

问题选择题

下列命题中正确的是（　　）

①若数列{a_n}是等差数列，且a_m+a_n=a_s+a_t（m、n、s、t∈N*），则m+n=s+t；

②若S_n是等差数列{a_n}的前n项的和，则S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n成等差数列；

③若S_n是等比数列{a_n}的前n项的和，则S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n成等比数列；

④若S_n是等比数列{a_n}的前n项的和，且Sn=Aqn+B；（其中A、B是非零常数，n∈N*），则A+B为零．

A．①②

B．②③

C．②④

D．③④

答案

①取数列{a_n}为常数列，对任意m、n、s、t∈N^*，都有a_m+a_n=a_s+a_t，故错；

②设等差数列a_n的首项为a₁，公差为d，

则S_n=a₁+a₂+…+a_n，S_2n-S_n=a_n+1+a_n+2+…+a_2n=a₁+nd+a₂+nd+…+a_n+nd=S_n+n²d，

同理：S_3n-S_2n=a_2n+1+a_2n+2+…+a_3n=a_n+1+a_n+2+…+a_2n+n²d=S_2n-S_n+n²d，

∴2（S_2n-S_n）=S_n+（S_3n-S_2n），

∴S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n是等差数列，此选项正确；

③设a_n=（-1）ⁿ，则S₂=0，S₄-S₂=0，S₆-S₄=0，

∴此数列不是等比数列，此选项错；

④因为a_n=S_n-S_n-1=（Aqⁿ+B）-（Aq^n-1+B）=Aqⁿ-Aq^n-1=（Aq-1）×q^n-1，

所以此数列为首项是Aq-1，公比为q的等比数列，则S_n=

(Aq-1)(1-qn)

1-q

，

所以B=

Aq-1

1-q

，A=-

Aq-1

1-q

，∴A+B=0，故正确；

故选C．