观察：1•2•3•4+1=52， 2•3•4•5+1=112， 3•4•5•6+

问题解答题

观察：1•2•3•4+1=5²，

2•3•4•5+1=11²，

3•4•5•6+1=19²，

…

（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；

（2）根据（1），计算2000•2001•2002•2003+1的结果（用一个最简式子表示）．

答案

（1）对于自然数n，有n（n+1）（n+2）（n+3）+1

=（n²+3n）（n²+3n+2）+1

=（n²+3n）²+2（n²+3n）+1

=（n²+3n+1）²．

即n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n²+3n+1）²；

（2）由（1）得，2000×2001×2002×2003+1=（2000×2003+1）²=4006001²．