若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n不相交，但可能平行也可能异面，故①错误；

若m⊥α，m∥β，由线面平行的性质定理可得：存在直线b⊂β，使b∥a，根据线面垂直的第二判定定理可得b⊥α，再由面面平行的判定定理得：α⊥β，故②正确；

若n⊥α，n⊥β，则α∥β，又由m⊥α，则m⊥β，故③正确；

若α⊥γ，β⊥γ，α与β可能平行也可能相交（此时两平面交线与γ垂直），当α∥β时，若m⊥α，则m⊥β，但α与β相交时，若m⊥α，则m与β一定不垂直，故④错误；

故答案为：①④