问题
选择题
已知f（x）是定义在R上的函数，且f（x+1）和f（x-1）都是奇函数．对x∈R有以下结论：
①f（x+2）=f（x）；
②f（x+3）=f（x）；
③f（x+4）=f（x）；
④f（x+2）是奇函数；
⑤f（x+3）是奇函数．
其中一定成立的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案
∵f（x+1）和f（x-1）都是奇函数，∴f（-x+1）=-f（x+1）；f（-x-1）=-f（x-1）．
f（x+2）=f[（x+1）+1]=-f[-（x+1）+1]=-f（-x）=-f[-（x-1）-1]=f[（x-1）-1]=f（x-2）；
∴f（x+2）=f（x）∴①不成立；
∵f（x+3）=f[（x+2）+1]=-f[-（x+2）+1]=-f（-x-1）=f（x-1）；∴②不成立；
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=f[（x+2）-2]=f（x），函数是以4为周期的周期函数，③成立；
∵f（x+2）=-f（-x），∴④不成立；
∴f（x+3）=f[（x+2）+1]=-f[-（x+2）+1]=-f（-x-1）=-f（-x+3）．∴f（x+3）是奇函数．⑤成立．
故选B