问题
填空题
函数f(x)的定义域为A,若x1,x2∈A且当f(x1)=f(x2)时,总有x1=x2,则称f(x)为单函数.例如,函数f(x)=2x+1(x∈R)是单函数.下列命题:
①函数f(x)=x2(x∈R)是单函数;
②若f(x)为单函数,x1,x2∈A且x1≠x2,则f(x1)≠f(x2);
③若f:A→B为单函数,则对于任意b∈B,它至多有一个原象;
④函数f(x)在A上具有单调性,则f(x)一定是单函数.
其中为真命题的是______.(写出所有真命题的序号)
答案
∵若x1,x2∈A,且f(x1)=f(x2)时总有x1=x2,则称f(x)为单函数
①函数f(x)=x2不是单函数,∵f(-1)=f(1),显然-1≠1,
∴函数f(x)=x2(x∈R)不是单函数;
②∵f(x)为单函数,且x1≠x2,
若f(x1)=f(x2),则x1=x2,与x1≠x2矛盾
∴②正确;
③若f:A→B为单函数,则任意的a∈A,则f(a)∈B,当f(a)=b时,b在A中有唯一的原像,当f(a)≠b时,b在集合A中没有原像,则对于任意b∈B,它至多有一个,③正确
④∵函数f(x)是单调函数,
∴f(x1)=f(x2)时总有x1=x2,即④正确;
故答案为:②③④.