问题
填空题
对于非空实数集A，记A*={y|∀x∈A，y≥x}．设非空实数集合M⊆P，若m＞1时，则m∉P． 现给出以下命题：
①对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有P*⊆M*；
②对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有M*∩P≠∅；
③对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有M∩P*=∅；
④对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必存在常数a，使得对任意的b∈M*，恒有a+b∈P*；
其中正确的命题是______（写出所有正确命题的序号）
答案
由A*={y|∀x∈A，y≥x}．可知：数集A*是数集A的所有上界组成的集合．
①分别用Amax、Amin表示集合A的所有元素（数）的最大值、最小值．
由M⊆P及A*的定义可知：Mmax≤
，Pmax≤M *min
，P *min
≤Pmax，∴M *min
≤M *min
，∴必有P*⊆M*．故①正确．P *min
②若设M=（-∞，1）=P，满足M⊆P，而M*=[1，+∞），此时M*∩P=∅，故②不正确．
③若设M=（-∞，1]=P，满足M⊆P，而P*=[1，+∞），此时M∩P*={1}≠∅．
④由①可知：对于M⊆P，必有P*⊆M*；取a=
-P *min
，则对于任意的b∈M*，必恒有a+b∈P*．M *min
故正确命题是①④．