问题 填空题

定义在R上的函数f(x),其图象是连续不断的,如果存在非零常数λ,(λ∈R,使得对任意的x∈R,都有f(x+λ)=λf(x),则称y=f(x)为“倍增函数”,λ为“倍增系数”,下列命题:

①函数f(x)=2x+11是倍增函数,且λ=1倍增系数;

②若函数y=f(x)是倍增系数λ=-1的倍增函数,则y=f(x)至少有1个零点;

③函数f(x)=e-x是倍增函数,且倍增系数λ∈(0,1).

其中为真命题的是______.(写出所有真命题的序号)

答案

∵f(x)=2x+11是倍增函数,

∴2(x+λ)+11=λ(2x+11),

∴λ=

2x+11
2x+9
≠1,故①不正确;

∵函数y=f(x)是倍增系数λ=-1的倍增函数,

∴f(x-1)=-f(x),

当x=0时,f(-1)+f(0)=0,

若f(0),f(-1)任一个为0,函数f(x)有零点.

若f(0),f(-1)均不为零,则f(0),f(-1)异号,

由零点存在定理,在(-1,0)区间存在x0,f(x0)=0,

即y=f(x)至少有1个零点,故②正确;

∵f(x)=e-x是倍增函数,

∴e-(x+λ)=λe-x

1
exeλ
=
λ
ex

∴λ=

1
eλ
∈(0,1),故③正确.

故答案为:②③.

单项选择题

2008年,全国共有普通高等学校和成人高等学校2663所。其中,普通高等学校2263所,比上年增加355所,成人高等学校400所,比上年减少13所。普通高校中本科院校1079所,高职(专科)院校1184所。全国共有培养研究生单位796个;其中高等学校479个,科研机构317个。
全国招收研究生44.64万人,比上年增加2.78万人,增长6.64%;其中博士生5.98万人,硕士生38.67万人。在学研究生128.30万人,比上年增加8.80万人,增长7.36%;其中博士生23.66万人,硕士生104.64万人。毕业研究生34.48万人,比上年增加3.3万人,增长10.58%;其中博士生4.37万人,硕士生30.11万人。
普通高等教育本专科共招生607.66万人,比上年增加41.74万人;在校生2021.02万人,比上年增加136.12万人,增长7.22%;毕业生511.95万人,比上年增加64.16万人,增长14.33%。成人高等教育本专科共招生202.56万人,在校生548.29万人,毕业生169.09万人。全国高等教育自学考试报考988.82万人次,取得毕业证书55.19万人。
普通高等学校学生平均规模为8679人。
普通高等学校教职工2205.10万人,比上年增加7.65万人;其中专任教师.123.75万人,比上年增加6.92万人。生师规模比为17.23:1。成人高等学校教职工8.99万人,比上年减少4.64万人;其中专任教师5.32万人,比上年减少2.7万人。

根据材料,下列说法中正确的是( )。

A.成人高等学校中专任教师的数量不到教职工数量的一半

B.普通高等学校本专科毕业生多于其招生数

C.普通高等学校教职工平均规模约为900人

D.培养研究生的单位中,高等学校所占比例不到60%

单项选择题