定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，如果存在非零常数

问题填空题

定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，如果存在非零常数λ，（λ∈R，使得对任意的x∈R，都有f（x+λ）=λf（x），则称y=f（x）为“倍增函数”，λ为“倍增系数”，下列命题：

①函数f（x）=2x+11是倍增函数，且λ=1倍增系数；

②若函数y=f（x）是倍增系数λ=-1的倍增函数，则y=f（x）至少有1个零点；

③函数f（x）=e^-x是倍增函数，且倍增系数λ∈（0，1）．

其中为真命题的是______．（写出所有真命题的序号）

答案

∵f（x）=2x+11是倍增函数，

∴2（x+λ）+11=λ（2x+11），

∴λ=

2x+11

2x+9

≠1，故①不正确；

∵函数y=f（x）是倍增系数λ=-1的倍增函数，

∴f（x-1）=-f（x），

当x=0时，f（-1）+f（0）=0，

若f（0），f（-1）任一个为0，函数f（x）有零点．

若f（0），f（-1）均不为零，则f（0），f（-1）异号，

由零点存在定理，在（-1，0）区间存在x₀，f（x₀）=0，

即y=f（x）至少有1个零点，故②正确；

∵f（x）=e^-x是倍增函数，

∴e^-（x+λ）=λe^-x，

∴

ex•eλ

，

∴λ=

eλ

∈（0，1），故③正确．

故答案为：②③．