大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+n=

问题填空题

大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+n=？经过研究，这个问题的结论是1+2+3+…+n=

n(n+1)，其中n是正整数．现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+n（n+1）=？观察下面三个特殊的等式：
1×2=

(1×2×3-0×1×2)，
2×3=

(2×3×4-1×2×3)，
3×4=

(3×4×5-2×3×4)，
将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=

×3×4×5=20．
根据上述规律，请你计算：1×2+2×3+…+n（n+1）=______；1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=______．

答案

根据阅读材料中的例子得：1×2+2×3+…+n（n+1）

（1×2×3-0×1×2）+

（2×3×4-1×2×3）+…+

[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]

n（n+1）（n+2）；

依此类推：1×2×3=

（1×2×3×4-0×1×2×3），2×3×4=

（2×3×4×5-1×2×3×4），

∴1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）

（1×2×3×4-0×1×2×3）+

（2×3×4×5-1×2×3×4）+…+

[（n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]=

n（n+1）（n+2）（n+3）．

故答案为：

n（n+1）（n+2）；

n（n+1）（n+2）（n+3）