问题
解答题
已知函数f（x）=lg[（a2-1）x2+（a+1）x+1]．设命题p：“f（x）的定义域为R”；命题q：“f（x）的值域为R”
（1）若命题p为真，求实数a的取值范围；
（2）若命题q为真，求实数a的取值范围；
（3）¬p是q的什么条件？请说明理由．
答案
（1）若命题p为真，即f（x）的定义域是R，
则（a2-1）x2+（a+1）x+1＞0恒成立，…（2分）
则a=-1或
…（3分）a2-1＞0 △=(a+1)2-4(a2-1)＜0.
解得a≤-1或a＞
．5 3
∴实数a的取值范围为（-∞，-1]∪(
，+∞）．…（5分）5 3
（2）若命题q为真，即f（x）的值域是R，
设u=（a2-1）x2+（a+1）x+1的值域为A
则A⊇（0，+∞），…（6分）
等价于a=1或
…（8分）a2-1＞0 △=(a+1)2-4(a2-1)≥0.
解得1≤a≤
．5 3
∴实数a的取值范围为[1，
]．…（10分）5 3
（3）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，
¬p：a∈(-1 ，
]；q：a∈[1 ， 5 3
]．5 3
而(-1，
]⊃[1，5 3
]，5 3
∴¬p是q的必要而不充分的条件．…（13分）