问题 解答题

有依次排列的3个数:3,9,8,对任意相邻的两个数,都用右边的数减去左边的数,所得之差写在这两个数之间,可产生一个新数串:3,6,9,-1,8,这称为第一次操作;做第二次同样的操作后也可产生一个新数串:3,3,6,3,9,-10,-1,9,8,继续依次操作下去.问:从数串3,9,8开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少?

答案

一个依次排列的n个数组成一个数串:a1,a2,a3,…,an

依题设操作方法可得新增的数为:a2-a1,a3-a2,a4-a3,an-an-1

所以,新增数之和为:(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=an-a1

原数串为3个数:3,9,8

第1次操作后所得数串为:3,6,9,-1,8

根据(*)可知,新增2项之和为:6+(-1)=5=8-3

第2次操作后所得数串为:

3,3,6,3,9,-10,-1,9,8

根据(*)可知,新增2项之和为:3+3+(-10)+9=5=8-3

按这个规律下去,第100次操作后所得新数串所有数的和为:

(3+9+8)+100×(8-3)=520 (本题(10分),直接写出正确答案得3分)

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