问题 选择题

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是(  )

A.∃xα∈R,f(xα)=0

B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形

C.若xα是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,xα)单调递减

D.若xα是f(x)的极值点,则f(xα)=0

答案

f(x)=3x2+2ax+b.

(1)当△=4a2-12b>0时,f(x)=0有两解,不妨设为x1<x2,列表如下

x(-∞,x1x1(x1,x2x2(x2,+∞)
f'(x)+0-0+
f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增
由表格可知:

①x2是函数f(x)的极小值点,但是f(x)在区间(-∞,x2)不具有单调性,故C不正确.

②∵f(-

2a
3
-x)+f(x)=(-
2a
3
-x)3+a(-
2a
3
-x)2+b(-
2a
3
-x)+c
+x3+ax2+bx+c=
4a3
9
-
2ab
3
+2c

f(-

a
3
)=(-
a
3
)3+a(-
a
3
)2+b(-
a
3
)+c=
2a3
9
-
ab
3
+c

f(-

2a
3
-x)+f(x)=2f(-
a
3
)

∴点P(-

a
3
,f(-
a
3
))为对称中心,故B正确.

③由表格可知x1,x2分别为极值点,则f(x1)=f(x2)=0,D正确.

④∵x→-∞时,f(x)→-∞;x→+∞,f(x)→+∞,函数f(x)必然穿过x轴,即∃xα∈R,f(xα)=0,故A正确.

(2)当△≤0时,f(x)=3(x+

a
3
)2≥0,故f(x)在R上单调递增,①此时不存在极值点,故D正确,C不正确;

②B同(1)中②正确;

③∵x→-∞时,f(x)→-∞;x→+∞,f(x)→+∞,函数f(x)必然穿过x轴,即∃xα∈R,f(xα)=0,故A正确.

综上可知:错误的结论是C.

故选C.

单项选择题
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