已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( )
A.∃xα∈R,f(xα)=0
B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形
C.若xα是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,xα)单调递减
D.若xα是f(x)的极值点,则f′(xα)=0
f′(x)=3x2+2ax+b.
(1)当△=4a2-12b>0时,f′(x)=0有两解,不妨设为x1<x2,列表如下
x | (-∞,x1) | x1 | (x1,x2) | x2 | (x2,+∞) |
f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
①x2是函数f(x)的极小值点,但是f(x)在区间(-∞,x2)不具有单调性,故C不正确.
②∵f(-
-x)+f(x)=(-2a 3
-x)3+a(-2a 3
-x)2+b(-2a 3
-x)+c+x3+ax2+bx+c=2a 3
-4a3 9
+2c,2ab 3
f(-
)=(-a 3
)3+a(-a 3
)2+b(-a 3
)+c=a 3
-2a3 9
+c,ab 3
∵f(-
-x)+f(x)=2f(-2a 3
),a 3
∴点P(-
,f(-a 3
))为对称中心,故B正确.a 3
③由表格可知x1,x2分别为极值点,则f′(x1)=f′(x2)=0,D正确.
④∵x→-∞时,f(x)→-∞;x→+∞,f(x)→+∞,函数f(x)必然穿过x轴,即∃xα∈R,f(xα)=0,故A正确.
(2)当△≤0时,f′(x)=3(x+
)2≥0,故f(x)在R上单调递增,①此时不存在极值点,故D正确,C不正确;a 3
②B同(1)中②正确;
③∵x→-∞时,f(x)→-∞;x→+∞,f(x)→+∞,函数f(x)必然穿过x轴,即∃xα∈R,f(xα)=0,故A正确.
综上可知:错误的结论是C.
故选C.