问题
问答题
已知二次型f(x1，x2，x3)-(1-a)x21+(1-a)x22+2x23+2(1+a)x1x2的秩为2．
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)求正交变换x=Qy把f(x1，x2，x3)化为标准形；
(Ⅲ)求方程f(x1，x2，x3)=0的解．
答案
参考答案：由于二次型f的秩为2，即二次型矩阵
的秩为2，所以
，得a=0．
(Ⅱ)当a=0时，
得到矩阵A的特征值是λ1=λ2=2，λ3=0．
对于λ=2，由(2E-A)x=0
得特征向量a1=(1，1，0)T，a2=(0，0，1)T．
对λ=0由(OE-A)x=0
得特征向量a3=(1，-1，0)T．
由于a1，a2，a3已两两正交，单位化有
．
令Q=(γ1，γ2，γ3)则Q是正交矩阵．那么经正交变换x=Qy，有
f(x1，x2，x3)=2y21+2y22．
(Ⅲ)方程f(x1，x2，x3)=x21+x22+2x23+2x1x2=(x1+x2)2+2x23=0
即
所以方程的通解是k(1，-1，0)T，k为任意常数．
