问题
填空题
若二阶常系数线性齐次微分方程y″+ay′+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y″+ay′+by=x满足条件y(0)=2，y′(0)=0的解为y=______．
答案
参考答案：y=-xex+x+2
解析： 由二阶常系数线性齐次微分方程的通解为y=(C1+C2x)ex，得对应特征方程的两个特征根为λ1=λ2=1，故a=-2，b=1；
对应非齐次微分方程为y″-2y′+y=x，设其特解为y*=Ax+B，代入得-2A+Ax+B=x，有A=1，B=2．
所以特解为y″=x+2．
因而非齐次微分方程的通解为y=(C1+C2x)ex+x+2，把y(0)=2，y′(0)=0代入，得C1=0，C2=-1．所求特解为y=-xex+x+2．
[评注] 此题是通常二阶常系数线性微分方程解的结构和形式的考察．
