问题
选择题
对于非空实数集A，记A*={y|∀x∈A，y≥x}．设非空实数集合M、P满足：M⊆P，且若x＞1，则x∉P．现给出以下命题：
①对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有P*⊆M*；
②对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有M*∩P≠∅；
③对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必有M∩P*=∅；
④对于任意给定符合题设条件的集合M、P，必存在常数a，使得对任意的b∈M*，恒有a+b∈P*，
其中正确的命题是（ ）
A．①③
B．③④
C．①④
D．②③
答案
由于非空实数集A，记A*={y|∀x∈A，y≥x}，则A*中元素为大于A中所有值的数的集合．
①由于M⊆P，假设M中最大值为m，P最大值为p，那么p≥m．因此M*表示大于m所有数集合，P*表示所有大于p的数的集合．则P*⊆M*，①正确；
②令M=P={x|0＜x＜
}，则M*={x|x≥1 2
}，故M*∩P=∅，②错误；1 2
③令M={x|0＜x＜
}，P={x|0＜x≤1 2
}，则M*={x|x≥1 2
}，故M*∩P={x|x=1 2
}≠∅，③错误；1 2
④令a=0，则对任意的b∈M*，恒有a+b∈P*，④正确．
故答案为C．