已知命题p：∀x∈R，cos2x+sinx+a≥0，命题q：∃x∈R，ax2-2

问题解答题

已知命题p：∀x∈R，cos2x+sinx+a≥0，命题q：∃x∈R，ax²-2x+a＜0，命题p∨q为真，命题p∧q为假．求实数a的取值范围．

答案

由命题p得a≥-cos2x-sinx=2sin2x-sinx-1=2(sinx-

)2-

，

因为sinx∈[-1，1]，

所以当sinx=-1时，（2sin²x-sinx-1）_max=2，

所以命题p：a≥2

由命题q得：当a≤0时显然成立；

当a＞0时，需满足△=4-4a²＞0，解得0＜a＜1

所以命题q：a＜1

因为命题p∨q为真，命题p∧q为假，所以命题p和q一真一假

若命题p真q假，则a≥2；若命题p假q真，则a＜1

综上，实数a的取值范围是（-∞，1）∪[2，+∞）