问题
解答题
设命题P：x1，x2是方程x2-ax-2=0的两个实根，不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|对任意实数a∈[-1，1]恒成立，命题Q：不等式|x-2m|-|x|＞1（m＞0）有解，若P且Q为真，试求实数m的取值范围．
答案
∵x1，x2是方程x2-ax-2=0的两个实根
∴x1+x2=a，x1x2=-2
∴|x1-x2|=
=(x1-x2)2
=(x1+x2)2- 4x1x2 a2+8
当a∈[-1，1]时，
∈[2a2+8
，3]2
∵不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|对任意实数a∈[-1，1]恒成立
则只要|m2-5m-3|≥|x1-x2|max在a∈[-1，1]成立即可
∴|m2-5m-3|≥3
∴m2-5m-3≥3或m2-5m-3≤-3
即m2-5m-6≥0或m2-5m≤0
解不等式可m2-5m-6≥0得，m≥6或m≤-1
解不等式m2-5m≤0得，0≤m≤5
综上可得，P：m≥6或m≤-1或0≤m≤5
∵不等式|x-2m|-|x|＞1（m＞0）有解
令f（x）=|x-2m|-|x|=
，2m，x≤0 -2x+2m，0＜x＜m -2m，x≥2m
结合该函数的性质可知，函数的最大值为2m，最小值为-2m
若使得不等式|x-2m|-|x|＞1（m＞0）有解，则只要f（x）max＞1即2m＞1即可
Q：m＞1 2
∵P且Q为真
∴P，Q都为真命题
∴m＞ 1 2 m≥6或m≤-1或0≤m≤5
∴m≥6或
＜m≤51 2