假设a1，a2，a3，a4是一个等差数列，且满足0＜a1＜2，a3=4．若bn=

问题选择题

假设a₁，a₂，a₃，a₄是一个等差数列，且满足0＜a₁＜2，a₃=4．若b_n=2^a_n（n=1，2，3，4）．给出以下命题：

①数列{b_n}是等比数列；

②b₂＞4；

③b₄＞32；

④b₂b₄=256．

其中正确命题的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

答案

根据题意，得

对于①，∵a₁，a₂，a₃，a₄是一个等差数列，

设公差为d，则a_n=a₁+（n-1）d，（n=1，2，3，4）；

∴b_n=2an=2a1+(n-1)d=2a1•（2^d）^n-1，（n=1，2，3，4），

∴{b_n}是首项为2a1，公比为2^d的等比数列．∴命题①正确．

对于②，∵在等差数列{a_n}中，0＜a₁＜2，a₃=4，

∴a₂=

a1+a3

a1+4

＞2，∴b₂=2a2＞4；

∴②正确．

对于③，等差数列{a_n}中，0＜a₁＜2，a₃=4，∴公差d∈（1，2），

∴a₄=a₃+d＞5，∴b₄=2a4＞2⁵=32；

∴命题③正确．

对于④，∵b₂b₄=b32=(2a3)2=（2⁴）²=256，∴命题④正确．

综上，以上命题正确的是4个．

故选：D．