对于（1），如图P是△ABC所在平面外一点，O是P点在平面a上的射影．

若P到△ABC三个顶点的距离相等，由条件可证得OA=OB=OC，

由三角形外心的定义可知，此时O是三角形ABC的外心，

∴命题（1）正确；

对于（2），∠PAO=∠PBO=∠PCO⇒AO=BO=CO⇒O为三角形的外心，

∴命题（2）不正确．

对于（3），在△ABC内部取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等，

∴点P应是△ABC的三内角角平分线的交点．三内角角平分线的交点，则O是△ABC的内心，

∴命题（3）正确；

对于（4），∠PEO=∠PFO=∠PDO⇒OD=OE=OF⇒O为三角形的内心．则O是△ABC的外心，命题（4）不正确．

对于（5），连结AO并延长，交BC与D连结BO并延长，交AC与E；

因PA⊥PB，PA⊥PC，故PA⊥面PBC，故PA⊥BC；

因PO⊥面ABC，故PO⊥BC，故BC⊥面PAO，

故AO⊥BC即AD⊥BC；

同理：BE⊥AC；

故O是△ABC的垂心．

∴命题（5）正确；

故答案为：（1）（3）（5）．