已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式2x-2≥m2-3m恒成立；命题

问题解答题

已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式2x-2≥m²-3m恒成立；命题q：存在x∈[-1，1]，使得m≤ax成立

（Ⅰ）若p为真命题，求m的取值范围；

（Ⅱ）当a=1，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．

（Ⅲ）若a＞0且p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．

答案

（Ⅰ）∵对任意x∈[0，1]，不等式2x-2≥m²-3m恒成立

∴(2x-2)min≥m2-3m，

即m²-3m≤-2，

解得1≤m≤2，

即p为真命题时，m的取值范围是[1，2]．

（Ⅱ）∵a=1，且存在x∈[-1，1]，使得m≤ax成立

∴m≤1

即命题q满足m≤1．

∵p且q为假，p或q为真

∴p、q一真一假．

当p真q假时，则

1≤m≤2

m＞1

，即1＜m≤2，

当p假q真时，

m＜1或m＞2

m≤1

，即m＜1．

综上所述，m＜1或1＜m≤2．

（Ⅲ）∵a＞0存在x∈[-1，1]，使得m≤ax成立，

∴命题q满足m≤a，

∵p是q的充分不必要条件，

∴a≥2．