∵关于x的方程x²-3x+2k-1=0有两个实数根，

∴△=（-3）²-4（2k-1）≥0，解得k≤

13

8

，

设方程x²-3x+2k-1=0的两个根为x₁、x₂，则x₁+x₂=3，x₁•x₂=2k-1，

∵x₁²+x₂²≥x₁x₂，即（x₁+x₂）²-3x₁x₂≥0，

∴9-3（2k-1）≥0，解得k≤2，

∴k≤

13

8

，

∵反比例函数y=

1+2k

x

的图象的两个分支在各自的象限内y随x的增大而减小，

∴1+2k＞0，即k＞-

1

2

，

∴k的取值范围为-

1

2

＜k≤

13

8

，

∴k的整数值为0、1．