问题 解答题

集合A={(x,y)|y=-x2+mx-1},B={(x,y)|y=3-x,0≤x≤3},若A∩B是只有一个元素的集合,求实数m的取值范围。

答案

解:(1)集合A表示抛物线上的点,抛物线y=-x2+mx-1,开口向下且过点(0,-1)。集合B表示线段上的点,要使A∩B只有一个元素,则线段与抛物线的位置关系有以下两种,如图:

由图1知,在函数f(x)=-x2+mx-1中,只要 f(3)≥0即可,即

由图2知,抛物线与直线在x∈[0,3]上相切,即

Δ=(m+1)2-16=0

∴m=3或m=-5,

当m=3时,切点(2,1)适合,

当m=-5时,切点(-2,5)舍去

∴m=3或

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