问题
解答题
集合A={(x,y)|y=-x2+mx-1},B={(x,y)|y=3-x,0≤x≤3},若A∩B是只有一个元素的集合,求实数m的取值范围。
答案
解:(1)集合A表示抛物线上的点,抛物线y=-x2+mx-1,开口向下且过点(0,-1)。集合B表示线段上的点,要使A∩B只有一个元素,则线段与抛物线的位置关系有以下两种,如图:
由图1知,在函数f(x)=-x2+mx-1中,只要 f(3)≥0即可,即
由图2知,抛物线与直线在x∈[0,3]上相切,即
Δ=(m+1)2-16=0
∴m=3或m=-5,
当m=3时,切点(2,1)适合,
当m=-5时,切点(-2,5)舍去
∴m=3或。