已知，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°．

求证：BC=

1

2

AB．

证明：

证法一：如答图所示，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，易证AD=AB，∠BAD=60°．

∴△ABD为等边三角形，

∴AB=BD，

∴BC=CD=

1

2

AB，即BC=

1

2

AB．

证法二：如答图所示，取AB的中点D，

连接DC，有CD=

1

2

AB=AD=DB，

∴∠DCA=∠A=30°，∠BDC=∠DCA+∠A=60°．

∴△DBC为等边三角形，

∴BC=DB=

1

2

AB，即BC=

1

2

AB．

证法三：如答图所示，在AB上取一点D，使BD=BC，

∵∠B=60°，

∴△BDC为等边三角形，

∴∠DCB=60°，∠ACD=90°-∠DCB=90°-60°=30°=∠A．

∴DC=DA，即有BC=BD=DA=

1

2

AB，

∴BC=

1

2

AB．

证法四：如图所示，作△ABC的外接圆⊙D，∠C=90°，AB为⊙O的直径，

连DC有DB=DC，∠BDC=2∠A=2×30°=60°，

∴△DBC为等边三角形，

∴BC=DB=DA=

1

2

AB，即BC=

1

2

AB．