问题 解答题

求证:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

答案

已知,在Rt△ABC中,∠A=30°,∠ACB=90°.

求证:BC=

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2
AB.

证明:

证法一:如答图所示,延长BC到D,使CD=BC,连接AD,易证AD=AB,∠BAD=60°.

∴△ABD为等边三角形,

∴AB=BD,

∴BC=CD=

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AB,即BC=
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AB.

证法二:如答图所示,取AB的中点D,

连接DC,有CD=

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AB=AD=DB,

∴∠DCA=∠A=30°,∠BDC=∠DCA+∠A=60°.

∴△DBC为等边三角形,

∴BC=DB=

1
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AB,即BC=
1
2
AB.

证法三:如答图所示,在AB上取一点D,使BD=BC,

∵∠B=60°,

∴△BDC为等边三角形,

∴∠DCB=60°,∠ACD=90°-∠DCB=90°-60°=30°=∠A.

∴DC=DA,即有BC=BD=DA=

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AB,

∴BC=

1
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AB.

证法四:如图所示,作△ABC的外接圆⊙D,∠C=90°,AB为⊙O的直径,

连DC有DB=DC,∠BDC=2∠A=2×30°=60°,

∴△DBC为等边三角形,

∴BC=DB=DA=

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AB,即BC=
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2
AB.

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