∵点A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂）是反比例函数y=

k

x

上两点，x₁＜x₂，

∴x₁x₂＞0时，

若0＜x₁＜x₂，y₁＞y₂，函数图象在第一象限，则k＞0；若x₁＜x₂＜0，y₁＞y₂，函数图象在第三象限，则k＞0，故A选项正确；

若x₁x₂＜0时，y₁＞y₂，函数图象在二、四象限，则k＜0，故B选项正确；

若

x2

x1

＞1时，则0＜x₁＜x₂，y₁＜y₂，此时函数图象在第，四象限，则k＜0，故C选项正确；

若

x2

x1

＜1时，则x₁＜x₂＜0，y₁＜y₂，此时函数图象在第二象限，则k＜0，故D选项错误．

故选D．