将甲的第一句话用甲-①，第二句话用甲-②表示．

（1）先假设甲-①是错的．

如果甲-①是错的，乙-①所说的整数用4除余3，如果用2除会怎样呢？

用4除余3的整数，也可以说成是4的倍数加上余数3 的整数．4是2的倍数，那么能被4整除的数也一定能被2整除，余数是3，3被2除余1．

因此甲-①，乙-①所说的内容相同，既他们说的都是错的．用同样的思考方法可以说明丙-①和丁-①也都是错的．这时可以肯定甲-②、

乙-②、丙-②、丁-②、是正确的．

从各句话的除数与余数的关系来看，所有话中的余数都是除数减1，因此满足甲-②、乙-②、丙-②、丁-②条件的整数应该是3、5、7、9的公倍数减1的整数，而这样的整数最小的是314，不符合题目要求．

（2）假设甲-②是错误的，根据（1）的思路可知，丙-①、丁-②也是错误的，

因为丁-②是错的，则丁-①是正确的，

即甲-①，乙-①，丙-②，丁-①都是正确的，

则符合条件的是2、4、7、8的公倍数减1的整数，

经验证，这个数是56-1=55．

所以这个两位整数是55．