设这个自然数为x，则x+2=3k，2x+4=7m，

从上面的式子看出m是个偶数，设m=2时，x=5，此时5+2不是3的倍数，所以不合适；

n=4时，x=12，此时12+2不是3的倍数，所以不合适；

n=6时x=19，此时19+2是3的倍数．

所以这样的自然数中最小的是19．

故答案为：19．