问题 解答题

已知集合A={x|1<x<3},B={x|2≤x≤4}

(1)请定义一种新的集合运算△,使A△B={x|1<x<2};

(2)按(1)定义的运算,分别求出集合A△(A△B)和B△(B△A).

(3)你可以得到怎样的结论,请用如右文氏图解释你的结论.

答案

(1)∵A={x|1<x<3},B={x|2≤x≤4}要使A△B={x|1<x<2},

由图可知A△B中的元素都在A中但不在B中,∴定义A△B={x|x∈A且x?B}.

(2)由(1)可知B△A={x|x∈B且x?A}={x|3≤x≤4}.

A△(A△B)={x|x∈A且x?(A△B)}={x|2≤x<3}.

B△(B△A)={x|x∈B且x?(B△A)}={x|2≤x<3}.

(3)猜想结论:A△(A△B)=B△(B△A)

根据右图作如下解释:A△B为图中阴影部分所以A△(A△B)=A∩B

同理B△(B△A)=A∩B,

∴A△(A△B)=B△(B△A)

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