每个杯子都要翻动奇数次，图解如下：

000000，

111110，

100001，

011100

110011，

001000，

111111，

这里用0代表向上，1代表向下，那么按照如上的方法只需翻动6次就可以把所有的杯子杯口向上．

故答案为：6．