如图甲，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ=30°角固定

问题问答题

如图甲，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ=30°角固定，M、P之间接电阻箱R，导轨所在空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B=0.5T．质量为m的金属杆a b水平放置在轨道上，其接入电路的电阻值为r．现从静止释放杆a b，测得最大速度为v_m．改变电阻箱的阻值R，得到v_m与R的关系如图乙所示．已知轨距为L=2m，重力加速度g取l0m/s²，轨道足够长且电阻不计．

（1）当R=0时，求杆a b匀速下滑过程中产生感生电动势E的大小及杆中的电流方向；

（2）求金属杆的质量m和阻值r；

（3）当R=4Ω时，求回路瞬时电功率每增加1W的过程中合外力对杆做的功W．

答案

（1）由图可知，当R=0 时，杆最终以v=2m/s匀速运动，产生电动势 E=BLv=0.5×2×2V=2V

由右手定则判断得知，杆中电流方向从b→a

（2）设最大速度为v，杆切割磁感线产生的感应电动势 E=BLv

由闭合电路的欧姆定律：I=

R+r

杆达到最大速度时满足 mgsinθ-BIL=0

解得：v=

mgsinθ

B2L2

R+

mgsinθ

B2L2

由图象可知：斜率为k=

4-2

m/(s•Ω)=1m/(s•Ω)，纵截距为v₀=2m/s，

得到：

mgsinθ

B2L2

r=v_{0
mgsinθ
B2L2
=k
解得：m=0.2kg，r=2Ω
（3）由题意：E=BLv，P=
E2
R+r
得  P=
B2L2v2
R+r
，则△P=B2L2v 22
R+r
-B2L2v 21
R+r
由动能定理得
W=
1
2
mv 22
-1
2
mv 21
联立得 W=
m(R+r)
2B2L2
△P
代入解得 W=0.6J
答：（1）当R=0时，杆a b匀速下滑过程中产生感生电动势E的大小是2V，杆中的电流方向从b→a；
（2）金属杆的质量m是0.2kg，阻值r是2Ω；
（3）当R=4Ω时，回路瞬时电功率每增加1W的过程中合外力对杆做的功W是0.6J．}