联立两函数解析式得：

y= 1 3 x+2 y= 5 x

，

消去y得：

1

3

x+2=

5

x

，即x²+6x=15，

配方得：x²+6x+9=24，即（x+3）²=24，

解得：x=2

6

-3或-2

6

-3（舍去），

∴一次函数与反比例函数图象交点的横坐标为x₀=2

6

-3，

即k＜2

6

-3＜k+1，

则整数k=1．

故答案为：1