请你利用直角坐标平面上任意两点（x1，y1）、（x2，y2）间的距离

问题解答题

请你利用直角坐标平面上任意两点（x₁，y₁）、（x₂，y₂）间的距离公式d=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

解答下列问题：
已知：反比例函数y=

与正比例函数y=x的图象交于A、B两点（A在第一象限），点F₁（-2，-2）、F₂（2，2）在直线y=x上．设点P（x₀，y₀）是反比例函数y=

图象上的任意一点，记点P与F₁、F₂两点的距离之差d=|P_^F1-P_^F2|．试比较线段AB的长度与d的大小，并由此归纳出双曲线的一个重要定义（用简练的语言表述）．

答案

解由y=

和y=x组成的方程组可得A、B两点的坐标分别为，（

，

）、（-

，-

），线段AB的长度=4（2分）

∵点P（x₀，y₀）是反比例函数y=

图象上一点，

∴y₀=

∴PF₁=

(x0+2)2+(

+2)2

(x0+

+2)2

(x0+1)2+1

|，

PF₂=

(x0-2)2+(

-2)2

(x0+

-2)2

(x0-1)2+1

|，（3分）

∴d=|PF₁-PF₂|=||

(x0+1)2+1

|-|

(x0-1)2+1

||，

当x₀＞0时，d=4；当x₀＜0时，d=4．（3分）

因此，无论点P的位置如何，线段AB的长度与d一定相等．（2分）

由此可知：到两个定点的距离之差（取正值）是定值的点的集合（轨迹）是双曲线．（2分）