∵函数y=

k

x

的图象经过点（4，6），

∴k=4×6=24，

∴此函数的解析式为y=

24

x

．

A、k=24＞0，此函数的图象在第一、三象限，故此选项错误；

B、把（-4，-6）代入函数关系式，能使y=

24

x

的左右两边的值相等，则此点一定在此函数的图象上，故此选项错误；

C、k=24＞0，则在每一象限内，y随x增大而减小，故此选项错误；

D、∵A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）都在此函数图象上，且x₂＞0＞x₁，则A点在第三象限，B点在第一象限，y₁＜0，y₂＞0，∴y₁＜y₂，故此选项正确．

故选：D．