已知数列{an}，an=pn+λqn（p＞0，q＞0，p≠q，λ∈R，λ≠0，n∈N*）．
（1）求证：数列{an+1-pan}为等比数列；
（2）数列{an}中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；
（3）设A={（n，bn）|bn=3n+kn，n∈N*}，其中k为常数，且k∈N*，B={（n，cn）|cn=5n，n∈N*}，求A∩B．
（1）∵an=pn+λqn，
∴an+1-pan=pn+1+λqn+1-p（pn+λqn）=λqn（q-p），
∵λ≠0，q＞0，p≠q
∴
=q为常数an+2-pan+1 an+1-pan
∴数列{an+1-pan}为等比数列
（2）取数列{an}的连续三项an，an+1，an+2（n≥1，n∈N*），
∵an+12-anan+2=（pn+1+λqn+1）2-（pn+λqn）（pn+2+λqn+2）=-λpnqn（p-q）2，
∵p＞0，q＞0，p≠q，λ≠0，
∴-λpnqn（p-q）2≠0，即an+12≠anan+2，
∴数列{an}中不存在连续三项构成等比数列；
（3）当k=1时，3n+kn=3n+1＜5n，此时B∩C=∅；
当k=3时，3n+kn=3n+3n=2•3n为偶数；而5n为奇数，此时B∩C=∅；
当k≥5时，3n+kn＞5n，此时B∩C=∅；
当k=2时，3n+2n=5n，发现n=1符合要求，
下面证明唯一性（即只有n=1符合要求）．
由3n+2n=5n得(
)n+(3 5
)n=1，2 5
设f(x)=(
)x+(3 5
)x，则f(x)=(2 5
)x+(3 5
)x是R上的减函数，2 5
∴f（x）=1的解只有一个
从而当且仅当n=1时(
)n+(3 5
)n=1，2 5
即3n+2n=5n，此时B∩C={（1，5）}；
当k=4时，3n+4n=5n，发现n=2符合要求，
下面同理可证明唯一性（即只有n=2符合要求）．
从而当且仅当n=2时(
)n+(3 5
)n=1，4 5
即3n+4n=5n，此时B∩C={（2，25）}；
综上，当k=1，k=3或k≥5时，B∩C=∅；
当k=2时，B∩C={（1，5）}，
当k=4时，B∩C={（2，25）}．