问题
解答题
设a1，a2，…，an都是正数．试证：
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答案
证明：欲证①成立，先考虑最简单的情形，设n=3，即证
+a 21 a2
+a 22 a1
≥a1+a2+a3…②a 23 a1
把②变形为
（
-a1）2+（a 21 a2
-a2）2+（a 22 a3
-a3）2≥0…③a 23 a1
即证
(a1-a2)+a1 a2
(a2-a3)+a2 a3
(a3-a1)≥0…④a3 a1
由于④中左边有（a1-a2），（a2-a3），（a3-a1），其和为零，因此，我们猜想：若④式左边相加，其和不小于（a1-a2），（a2-a3），（a3-a1）之和即可．为此，我们证更简单的事实．
设a，b是任意正整数，则有
(a-b)≥(a-b)…⑤a b
事实上，由（a-b）2≥0有
a2-ab≥ab-b2，
所以a（a-b）≥b（a-b）
所以
≥（a-b）a b
根据⑤，④显然成立，因为
(a1-a2)+a1 a2
(a2-a3)+a2 a3
(a3-a1)≥（a1-a2）+（a2-a3）+（a3-a1）≥0，a3 a1
从而③式成立，②式成立．
剩下来的工作是把②式推到一般情形①，这是很容易的．因为根据⑤，①式必然成立，因为
(a1-a2)+a1 a2
(a2-a3)+…+a2 a3
(an-1-a2)+an-1 an
(an-a1)≥（a1-a2）+（a2-a3）+…+（an-1-an）+（an-a1）=0an a1