∵全集U={3，6，k²+3k+5}，A={3，k+8}，

①6=k+8，∴k=-2，∴k²+3k+5=15，A={3，6}

∴U={3，6}，∴C_UA=∅；

②k²+3k+5=k+8，

∴k²+2k-3=0，解得k=1或-3，

当k=1时，U={3，6，9}，A={3，9}，∴C_UA={6}；

当k=-3，U={3，6，5}，A={3，5}，∴C_UA={6}；

综合C_UA={6}或∅，

故答案为{6}或∅．